h

r

O'

k

Z

k

r_1

Z

Z

O

k_1

T

r_1

r

v

T'

Koule\ se\ středem\ S\ a\ poloměrem\ r\ je\ položena\
na\ vodorovné\ rovině\ ρ\ a\ osvětlena\ bodovým\ zdrojem\
světla\ Z,\ SZ⊥ρ\ a\ |ZP| = h.\ Určete:\
a)\ průměr\ kružnice\ ohraničující\ osvětlenou\ část\ koule\
a\ výšku\ osvětlené\ části\ koule\
b)\ obsah\ vrženého\ stínu\ koulen\ na\ rovinu\ ρ

Zadání

Řešení

1) osový řez

Příklad

Průměr\ z\ Pythagorovy\ věty\ pro\ trojúhelník\ SOT\
r^2 = r_1^2+(r-v)^2\
r_1 = \sqrt{2rv-v^2},\ průměr = 2r_1 = 2\sqrt{2rv-v^2}\

3) průměr kružnice z trojúhelníka SOT

Výška\ z\ Euklidovy\ věty\ o\ odvěsně: a^2 = c·c_a\
r^2 = (r-v)(h-r)\
v = \frac{hr - 2r^2}{h-r} 

2) výška osvětlené kružnice z trojúhelníka SZT

4) obsah stínu

Pro\ obsah\ stínu\ je\ potřeba\ r_2.\ Zjistíme\ na\ základě\
podobnosti\ trojúhelníků:\
Δ ZO'T' = ΔZOT\
\frac{|O'T'|}{|ZO'|} = \frac{|OT|}{|ZO|}\
r_2 = |O'T'| = \frac{r_1·h}{h-2r+v}\
S_{kruhu}\ = πr^2 = πr_2^2 = π(\frac{r_1·h}{h-2r+v})^2 = π(\frac{\sqrt{2rv-v^2}·h}{h-2r+v})^2

Zadání: Koule\ se\ středem\ S\ a\ poloměrem\ r = 15\,cm\ je\ položena\
na\ vodorovné\ rovině\ ρ\ a\ osvětlena\ bodovým\ zdrojem\
světla\ Z,\ SZ⊥ρ\ a\ |ZP| = h = 45\,cm.\ Určete:\
a)\ průměr\ kružnice\ ohraničující\ osvětlenou\ část\ koule\
a\ výšku\ osvětlené\ části\ koule\
b)\ obsah\ vrženého\ stínu\ koulen\ na\ rovinu\ ρ.

Řešení

O

T

S

r_1

r

S

Z

O

A

T

r

r_1

|SZ| = h-r

v

r = 3 (slider from 0 to 15, step 1)
S = (-1.615, 0.52, 0)
a_2 = Sphere(S, r)
c = Circle(S, r, xOyPlane)
f = Line(S, yAxis)
A, O' = Intersect(f, c)
g = Line(O', xAxis)
h = 10 (slider from 0 to 50, step 1)
d = Circle(O', h, xOyPlane)
Z, D = Intersect(f, d)
i, j = Tangent(Z, c)
T' = Intersect(g, j)
F = Intersect(g, i)
k = Segment(Z, T')
l = Segment(Z, F)
m = Segment(F, T')
n = Segment(Z, O')
T, C = Intersect(k, c)
a = Segment(S, T)
E, G = Intersect(l, c)
p = Segment(T, E)
O = Intersect(n, p)
q = OrthogonalLine(S, c)
B, H = Intersect(q, a_2)
ρ = Plane(B, c)
e = Sphere(B, h)
o = Distance(O', T')
s = Circle(B, o, ρ)
t, c_1, u = Cone(s, h)
v = Segment(A, O)
f_1 = Segment(O, T)
w = Distance(S, O)
a_1 = Sphere(S, w)
J, K = Intersect(q, u)
I, L = Intersect(q, a_1)
b_1 = Distance(O, T)
d_1 = Circle(L, b_1, c)
b = OrthogonalLine(L, ρ)
g_1 = OrthogonalLine(L, d_1)
M = Point(d_1)
h_1 = OrthogonalLine(M, q, space)
N, P = Intersect(h_1, d_1)
i_1 = Segment(L, P)
j_1 = Segment(S, P)
k_1 = Segment(L, H)
l_1 = Line(B, i_1)
Q, R = Intersect(l_1, s)
m_1 = Segment(B, Q)
text1: "r_1 = " + (LaTeX[f_1]) + "\,cm"
text2: "v = " + (LaTeX[v]) + "\,cm"
r_2 = Segment(O', T')
text3: "d = " + (LaTeX[b_1]) + "\,cm"
e_1 = true
n_1 = false
o_1 = false
p_1 = false
r_1 = Distance(Z, S)
s_1 = Distance(S, Z)
u_1 = Distance(S, O)
v_1 = Distance(O, A)
w_1 = false
o_2 = false
q_1 = false
u_2 = false
text9: "Pro\ řešení\ příkladu\ využijeme\ naše\ spočtené\ vzorce\ pro\ v\ a\ r_1.\\
výška\ osvětlené\ části: v = \frac{hr - 2r^2}{h-r}.\\
Po\ dosazení\ za\ h\ a\ r\ dostáváme\ " + (LaTeX[text2]) + "\\
průměr\ d = 2r_1 = 2\sqrt{2rv-v^2}.\\
Po\ dosazení za\ r\ a\ v\ dostáváme:" + (LaTeX[text3]) + ".\\
Obsah\ osvětlené\ části\ S = πr_2^2\ a\ r_2 = π(\frac{r_1·h}{h-2r+v})^2\\
S =" + (LaTeX[o]) + "^2π\, cm^2"
F_1 = (7.52, 7)
h_3 = Line(F_1, xAxis)
d_3 = Circle(F_1, b_1)
G_1 = Intersect(d_3, h_3, 2)
i_3 = Line(F_1, yAxis)
e_3 = Circle(F_1, u_1)
H_1 = Intersect(e_3, i_3, 1)
j_3 = Segment(H_1, F_1)
k_3 = Segment(F_1, G_1)
l_3 = Segment(G_1, H_1)
C_1 = (34.115, 10.285)
q_2 = Circle(C_1, s_1)
s_2 = Line(C_1, yAxis)
D_1 = Intersect(q_2, s_2, 2)
t_2 = Circle(C_1, w)
E_1 = Intersect(t_2, s_2, 2)
c_3 = Circle(E_1, v_1)
I_1 = Intersect(c_3, s_2, 2)
f_3 = Circle(C_1, r)
b_2 = Line(E_1, xAxis)
J_1 = Intersect(f_3, b_2, 2)
g_3 = Segment(C_1, J_1)
m_3 = Segment(J_1, E_1)
n_3 = Segment(J_1, D_1)
p_3 = Segment(D_1, I_1)
q_3 = Segment(I_1, E_1)
r_3 = Segment(E_1, C_1)